Movimento de uma partícula material

Movimento Rectilíneo Uniformemente Variado

 

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Para descrever o movimento de uma partícula material, é necessário conhecer as expressões analíticas que traduzem a variação da posição, da velocidade e da aceleração da partícula, em função do tempo.

Como os movimentos em estudo são essencialmente rectilíneos, unidimensionais, simplifica-se a notação vectorial, utilizando valores algébricos.

Assim, os valores das grandezas serão afectados dos sinais + ou -, consoante a grandeza vectorial tenha sentido positivo ou negativo em relação ao referencial definido.

 

Movimento Rectilíneo Uniformemente Variado

Diz-se que uma partícula material está animada de movimento rectilíneo uniformemente variado se a resultante das forças que actuam sobre a partícula for constante e tangente à trajectória, implicando que esta se desloque com aceleração constante, ou seja a partícula varia o valor da sua velocidade quantidades iguais em intervalos de tempo iguais.

Para este movimento temos que considerar três leis:

&    Lei das acelerações a = constante

&    Lei das velocidades v = v0 + a t

&    Lei das posições ou lei do movimento x = x0 +v0 t + 1/2 a t2

v - valor da velocidade da partícula

v0 - valor da velocidade inicial, isto é, valor da velocidade no instante t0 ,da partícula

x - posição da partícula no instante t

x0 - posição da partícula no instante t0 = 0

a - valor da aceleração da partícula

 

Se a aceleração e a velocidade no instante t  tiverem o mesmo sentido, o movimento é rectilíneo uniformemente acelerado, sendo o sentido do movimento, positivo para o caso dos valores algébricos da aceleração e da velocidade no instante t serem positivos, e negativo para o caso dos valores algébricos da aceleração e da velocidade no instante t  serem negativos.

 

Quando a aceleração e a velocidade no instante t  têm sentidos opostos, o movimento é rectilíneo uniformemente retardado, sendo o sentido do movimento, positivo para o caso do valor algébrico da aceleração ser negativo e o da velocidade no instante t  ser positivo, e negativo para o caso do valor algébrico da aceleração ser positivo e da velocidade no instante t  ser negativo.

 

 

Representação gráfica da lei das velocidades

Uma vez que v = v0 + a t traduz uma relação linear entre a velocidade escalar e o instante que lhe corresponde, o gráfico v = f ( t ) é um segmento de recta cujo declive dá o valor algébrico da aceleração e a ordenada na origem corresponde ao valor algébrico da velocidade inicial, no instante t0 = 0.

Os gráficos representados na figura 1 correspondem a movimentos uniformemente variados em que a aceleração e a velocidade têm o mesmo sentido, sendo por isso uniformemente acelerados.

 

Os gráficos representados na figura 2 correspondem a movimentos uniformemente variados em que a aceleração e a velocidade têm o sentidos opostos, sendo por isso uniformemente retardados.

 

Representação gráfica da lei das posições

A representação gráfica da lei das posições x = x0 +v0 t + 1/2 a t2 corresponde a um ramo de uma parábola, cuja posição em relação aos eixos coordenados depende dos valores algébricos de x0 , v0 e a.

Se x0 = 0 e v0 = 0, a lei das posições tomará a forma x = 1/2 a t2 e o ramo da parábola tem o vértice a coincidir com a origem do referencial, como mostra a figura 3.

 

Dedução

 

Ascensão e queda de um grave

Desprezando a resistência do ar, um corpo em movimento ascendente, ou em queda livre, está apenas sujeito à acção da força gravítica que a Terra exerce sobre ele.

Neste movimento, a aceleração adquirida é constante, aceleração da gravidade, sendo vertical, com sentido descendente e com módulo aproximadamente igual a 10,0 m s-2.

Durante a subida, um corpo está animado de movimento rectilíneo uniformemente retardado, porque a velocidade e a aceleração são vectores que têm sentidos opostos e, durante a queda está animado de movimento rectilíneo uniformemente acelerado, porque a velocidade e a aceleração são vectores que apontam no mesmo sentido.

 

Expressões analíticas que traduzem o movimento de queda de um grave

Podemos considerar a origem do nosso referencial coincidente com a posição de lançamento e o sentido arbitrado como positivo o sentido descendente. Assim, o valor algébrico da aceleração da gravidade é positivo e o vector aceleração da gravidade tem o mesmo sentido que o arbitrado como positivo.

 

 

 

Queda de um grave

As leis deste movimento são, caso o corpo seja abandonado da posição y0 sem velocidade inicial, como mostra a figura 4:

&    Lei das acelerações g = constante

&    Lei das velocidades v =  g t

&    Lei das posições ou lei do movimento y = y0 +1/2 g t2

v - valor da velocidade da partícula

y - posição da partícula no instante t

y0 - posição da partícula no instante t0 = 0

g - valor da aceleração da partícula ( aceleração da gravidade )

 

As leis deste movimento são, caso o corpo seja abandonado da posição y0 com velocidade inicial v0, como mostra a figura 5:

&    Lei das acelerações g = constante

&    Lei das velocidades v = v0 + g t

&    Lei das posições ou lei do movimento y = y0 + v0 t +1/2 g t2

v - valor da velocidade da partícula

v0 - valor da velocidade inicial da partícula, no instante t0 = 0

y - posição da partícula no instante t

y0 - posição da partícula no instante t0 = 0

g - valor da aceleração da partícula ( aceleração da gravidade )

 

Expressões analíticas que traduzem o movimento de ascensão de um grave

Podemos considerar a origem do nosso referencial coincidente com o solo e o sentido arbitrado como positivo o sentido ascendente. Assim, o valor algébrico da aceleração da gravidade é negativo e o vector aceleração da gravidade tem sentido contrário ao sentido arbitrado como positivo, como mostra a figura 6.

 

As leis deste movimento são:

&    Lei das acelerações g = constante

&    Lei das velocidades v = v0 - g t

&    Lei das posições ou lei do movimento y = y0 + v0 t -1/2 g t2

v - valor da velocidade da partícula

v0 - valor da velocidade inicial da partícula, no instante t0 = 0

y - posição da partícula no instante t

y0 - posição da partícula no instante t0 = 0

g - valor da aceleração da partícula ( aceleração da gravidade )

Nota: Para que um corpo seja lançado verticalmente tem que sofrer um impulso que lhe comunique uma velocidade inicial de módulo v0.

Determinação da altura máxima atingida pelo corpo

O corpo atinge a altura máxima no instante em que a velocidade se anula. Assim,

 

0 = v0 – g t Û t = v0 / g , em que t é o tempo de subida

 

A altura máxima atingida,  ymáx  será igual a

 

ymáx = v0 ( v0 / g ) – ½ g ( v0 / g )2  Û ymáx = ( v02 / g ) – ½ ( v02 / g ) Û ymáx = ½ ( v02 / g )

ymáx = v02 / 2 g

 

Nota: Neste movimento o tempo de subida é igual ao tempo de queda e o valor da velocidade com que atinge o ponto de partida é igual ao valor da velocidade de lançamento. Despreza-se a resistência do ar e a única força que actua sobre o corpo é a força gravítica que é uma força conservativa. O sistema corpo + Terra é conservativo e, portanto, a energia mecânica do sistema conserva-se. Como o corpo retorna ao ponto de lançamento, ao nível do solo a energia potencial gravítica é nula, então a energia mecânica só possui componente cinética, daí que a energia cinética do corpo no instante em que foi lançado seja igual à energia cinética do corpo quando cai no mesmo sítio, o que implica que o módulo da velocidade seja o mesmo.

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Adaptado de " Exercícios de Física - 11º ano " de Noémia Maciel, Mª Elisa Arieiro e Mª Manuela Gradim, da Porto Editora