Lançamento horizontal de um projéctil


Tabela de Conteúdos :

 

Dinâmica de uma Partícula Material em Movimento num Plano

Posição e Velocidade

Movimento Curvilíneo de uma Partícula Material Actuada por uma Força Constante

Movimento de Um Projéctil

Antes, um pouco de história

Lançamento  Horizontal de um Projéctil


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Dinâmica de uma Partícula Material em Movimento num Plano

Para começar, iremos redefinir, com base em conhecimentos matemáticos mais avançados, as grandezas que servem para descrever o movimento. São elas a posição, a velocidade e a aceleração, designadas por grandezas cinemáticas.

Posição e Velocidade

Quando uma partícula material se encontra em movimento em relação a um referencial previamente escolhido, a sua posição em cada instante é dada pelas suas coordenadas cartesianas x, y e z nesse sistema. Mas a posição pode também ser definida por um vector com origem desse referencial e extremidade na partícula material móvel. Esse vector chama-se vector posição,   . Seja então P uma partícula material em movimento em relação a um referencial cartesiano rectangular OXYZ. Estando P em movimento, o seu vector posição , com origem em O e extremidade me P, variará em norma e direcção. Logo,  é uma função do tempo, o que se exprime simbolicamente pela equação .

            O vector posição, tem, nos eixos coordenados, componentes axiais ,      e  , que também se designam por projecções sobre os eixos coordenados.

Consideremos então as situações da figura 1.

- em A, a trajectória é rectilínea, tendo-se feito coincidir o eixo OX com essa trajectória;

- em B, a trajectória é uma curva plana, tendo-se feito coincidir o plano XOY com o plano onde P se move;

- em C, a trajectória é uma curva no espaço a três dimensões.

Sendo, em A,  = e  e, em B,  as expressões de , em função das suas componentes axiais, são respectivamente:

A                          B                             C   

Sejam  ,  e  os vectores unitários ou versores dos eixos OX, OY e OZ, isto é, vectores de norma igual à unidade, com a direcção e sentido destes eixos. Como as coordenadas da partícula P são x, y e z, as componentes axiais são iguais a    e .Voltando aos exemplos dados (Fig. 1), podemos escrever as expressões do vector posição em função das coordenadas cartesianas de P:

A                    B                     C     

As coordenadas cartesianas de uma partícula P identificam-se, portanto, com as medidas algébricas das componentes do vector posição . Dado que é uma função do tempo, também as medidas das suas componentes o serão: x = x(t), y = y(t) e z = z(t). Estas equações designam-se por equações paramétricas do movimento:

A  x = x(t)                 B             C  

Para determinar a equação cartesiana da trajectória em função das coordenadas de P, eliminam-se o parâmetro t entre as equações paramétricas.

Os referenciais, as coordenadas e as equações das curvas (trajectórias) dizem-se cartesianos, em homenagem ao seu inventor, Descartes.

Conhecida apenas a forma como o vector posição varia no decorrer do tempo, podem determinar-se, como veremos, os vectores deslocamento, velocidade e aceleração.

Consideremos então que a partícula material P se encontra, no instante inicial ti , na posição A, sendo o seu vector posição. Se no instante final tf, estiver no ponto B, de vector posição , o segmento orientado , com origem na posição inicial A e extremidade na posição final B, representa o deslocamento entre os pontos A e B. Assim, é dado pela diferença entre os vectores posição de B e de A, respectivamente    e :  

             Conforme já sabemos a velocidade  de uma partícula num dado instante é definida pela expressão:

           

 Trata-se de um vector aplicado na partícula, com a direcção da tangente á trajectória no ponto onde a partícula se encontra nesse instante, sentido do movimento e norma igual á velocidade escalar nesse instante, ou seja,          .

Ora o limite do cociente  quando   tende para zero designa-se

Automaticamente por derivada de  em ordem ao tempo e representa-se por . Logo:

             Como se determina a expressão de velocidade , se for conhecido o vector posição . Vamos considerar apenas o caso mais geral do movimento a três dimensões. Calcula-se então a primeira derivada de  em ordem ao tempo. Assim, sendo

 e aplicando-se as regras da derivação da soma e do produto obtém-se:

 

            Como ,  e  são vectores constantes em norma, direcção e sentido, as suas derivadas em ordem ao tempo são nulas, donde:

 As medidas algébricas das componentes de  são, portanto:

                                                             

 Assim se obteve uma expressão para no referencial OXYZ. Mas sendo a velocidade tangente à trajectória no ponto onde a partícula se encontra, podemos também exprimir em função do versor da tangente á trajectória nesse ponto. Arbitrando um sentido positivo para a trajectória, e definindo um vector unitário  com esse sentido, teremos

em que v é a velocidade escalar. Se a partícula se mover no sentido arbitrado como positivo,  e  tem o sentido de . Se ,  então   tem sentido contrário a .


Movimento Curvilíneo de uma Partícula Material Actuada por uma Força Constante

Se, antes de lhe serem aplicadas forças, uma partícula material tiver velocidade inicial , ela seguirá com movimento rectilíneo e uniforme em virtude da inércia. Começando a actuar uma força constante, representada por , com direcção diferente da de , a trajectória da partícula, a partir desse instante, passa a ser curvilínea. Porquê? A relação  mostra que e  têm a mesma direcção e o mesmo sentido. Sabemos também que as variações de velocidade  têm a mesma direcção e o mesmo sentido que . Mas , ou seja, . Então, se  e  têm direcções diferentes, o mesmo acontece com  e . A soma destas duas, que é a velocidade , vai ter direcção diferente da de . Logo, a trajectória é uma curva plana.  

            Este movimento curvilíneo pode considerar-se como sendo a sobreposição de dois movimentos simultâneos e independentes num plano: um movimento rectilíneo e uniforme com velocidade , um movimento com direcção de , de aceleração constante , rectilíneo e uniformemente variado. Veremos a seguir que movimento é composto é variado mas não uniformemente.

            Para concretizar esta situação, estudaremos o movimento dos projécteis.


Movimento de um Projéctil

Antes, um pouco de história....

As nossas ideias actuais sobre o movimento dos corpos vêm dos tempos de Galileu (fig.4) e de Newton. Antes deles, as pessoas acreditavam em Aristóteles, que afirmou que o estado natural de um corpo era o estado de repouso; mover-se-ia apenas enquanto sobre ele actuasse uma força ou impulso. Assim, um corpo pesado cairia mais depressa do que um corpo leve porque sofreria um impulso maior em direcção à Terra.

A tradição aristotélica também afirmava que era possível descobrir todas as leis que governam o Universo só por puro pensamento, sem necessidade de confirmação observacional. Deste modo, até Galileu ninguém se preocupou em ver se corpos de pesos diferentes caíam de facto com velocidades diferentes.

Diz-se que Galileu demonstrou que a crença de Aristóteles era falsa deixando cair pesos da torre inclinada de Pisa (fig.5). A história é certamente falsa, mas Galileu fez uma coisa equivalente: fez rolar bolas de pesos diferentes pelo suave declive de um plano inclinado (fig.6). A situação é semelhante à de corpos pesados que caem verticalmente, mas mais fácil de observar, porque se movimentam com velocidades diferentes. As medições de Galileu indicavam que a velocidade de cada corpo aumentava na mesma proporção, qualquer que fosse o seu peso. Por exemplo, se deixarmos rolar uma bola por uma encosta que desce um metro por cada dez metros de caminho andado, veremos que a bola se move com uma velocidade de cerca de um metro por segundo após um segundo, dois metros por segundo após dois segundos, etc., por mais pesada que seja. É evidente que um peso de chumbo cairá mais depressa do que uma pena, mas tal sucede apenas porque a pena é retardada pela resistência do ar.

Se deixarmos cair dois corpos que sofram pouca resistência por parte do ar, por exemplo dois pesos de chumbo diferentes, o tempo de queda será o mesmo .

Na Lua, onde não há ar que oponha resistência aos corpos que caem, o astronauta David R. Scott fez experiências com penas e pesos de chumbo e verificou que estes atingiam o solo ao mesmo tempo. 

As medições de Galileu foram utilizadas por Newton como base para as suas leis do movimento. Nas experiências de Galileu, quando um corpo rolava por um plano inclinado, exercia-se sobre ele sempre a mesma força (o seu peso), consistindo o efeito em fazer aumentar constantemente a velocidade. Isto mostrou que o verdadeiro efeito da força é modificar sempre a velocidade de um corpo, e não só imprimir-lhe o movimento, como se pensara antes. Também significava que, quando um corpo não sofre o efeito de qualquer força, se manterá em movimento rectilíneo com velocidade constante. Esta ideia foi explicitada pela primeira vez na obra de Newton Principia Mathematica, publicada em 1687, e é conhecida por primeira lei de Newton. O que acontece a um corpo quando uma força actua sobre ele é explicado pela segunda Lei de Newton, que afirma que o corpo acelerará, ou modificará a sua velocidade proporcionalmente à força. (Por exemplo, a aceleração será duas vezes maior se a força for duas vezes maior.) A aceleração também será menor quanto maior for a massa (ou quantidade de matéria) do corpo. (A mesma força actuando sobre um corpo com o dobro da massa produzirá metade da aceleração.) O automóvel é um exemplo familiar: quanto mais potente for o motor, maior será a aceleração, mas, quanto mais pesado for o carro, menor será a aceleração para o mesmo motor. Para além das leis do movimento, Newton descobriu uma lei para descrever a força da gravidade, que afirma que um corpo atrai outro corpo com uma força proporcional à massa de cada um deles.


O termo «projéctil» aplica-se tanto a uma bala como a qualquer outro objecto que seja lançado ao ar (uma bola, uma pedra, etc.). Se um projéctil for lançado ao ar com velocidade inicial , horizontal ou oblíqua, passa a ser actuado por uma força vertical, o peso , e vai descrever uma trajectória curva num plano vertical. Consideramos desprezáveis:

- resistência do ar;

- a variação da intensidade do peso, pelo que apenas estudaremos lançamentos próximos da superfície da Terra;

- a variação da direcção do peso, o que só acontece para lançamentos de curto alcance.

A fotografia estroboscópica do movimento de duas bolas,  um que parte, em queda livre, do repouso e outra que é projectada simultaneamente segundo a horizontal, mosta que as duas bolas:

- chegam ao mesmo tempo ao plano horizontal e

- encontram-se ao mesmo instante, à mesma altura, embora a distância entre elas vá aumentando.

Portanto, para a bola lançada horizontalmente, a componente vertical do movimento ( de aceleração constante ) não é afectada pelo movimento horizontal (de velocidade constante). Os dois movimentos são, pois, independentes um do outro. Com base neste facto, iremos deduzir as expressões dos vectores posição e velocidade em função do tempo, para o lançamento horizontal de projécteis.

Lançamento horizontal

O lançamento horizontal de projécteis é o caso particular em que o ângulo de lançamento é  ( fig.). Assim, no referencial escolhido,  será apenas  pois , tendo o vector posição a forma:

 O vector posição permite obter, como no caso anterior:

-                      as equações paramétricas do movimento

 -                      a equação da trajectória,  que representa uma parábola de eixo vertical;

 -                      a velocidade , sendo as medidas algébricas das componentes

 
(ver fig. 1)
(ver fig. 2)
(ver fig. 3)
(ver fig. 4)
(ver fig. 5)
(ver fig. 6)

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