Movimento de Foguetes

Texto e cálculos de vôo elaborados pelo Prof. Paulo Portugal

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A variação da aceleração da gravidade com a altitude só é significativa quando consideramos trajectórias de satélites. Até 50 milhas naúticas, dentro da atmosfera, a variação da gravidade não é importante.

Porquê?

A intensidade da força gravítica a que um foguete está sujeito à superfície da Terra pode ser calculada pela seguinte expressão:

em que é a aceleração da gravidade à superfície da Terra, M é a massa da Terra, m é a massa do satélite e r é o raio da Terra.

A intensidade da força gravítica a que um foguete está sujeito a uma dada altitude, relativamente à superfície da Terra pode ser calculada pela seguinte expressão:

em que é a aceleração da gravidade à altitude considerada, relativamente à superfície da Terra, M é a massa da Terra, m é a massa do satélite e h é a altitude relativamente á superfície da Terra.

Se compararmos as duas expressões obtidas para o cálculo da norma da aceleração da gravidade, à superfície da Terra e á altitude h, vemos que:

o que nos leva a concluir que, como , , ou seja, podemos considerar constante a norma da aceleração da gravidade.

O tipo de trajectória seleccionada para qualquer veículo depende da missão para a qual vai ser utilizado.

As trajectórias são seleccionadas de forma a conseguir um alcance máximo no solo, ou altitude, ou velocidade ou, em dadas ocasiões, uma combinação de dois ou mais destes parâmetros.
Um míssil balístico deve ter uma trajectória que assegure um alcance no solo adequado enquanto que um foguete deve possuir uma trajectória que assegure uma altitude máxima, não sendo importante o alcance no solo.

Vamos apenas estudar duas situações respeitantes ao lançamento e trajectória de foguetes.

Situação 1 - Ascensão vertical (vertical ascent)

Situação 2 - Trajectória inclinada (turn-over trajectory)

A performance do veículo dentro da atmosfera é limitada por parâmetros aerodinâmicos.
Durante o movimento dentro da atmosfera, um veículo pode encontrar gradientes de vento, jet streams, e, apesar da velocidade do vento poder ser apreciável, afecta primordialmente a incidência do veículo e tem efeito secundário na sua performance.

Situação 1 - Ascensão vertical

Nesta situação particular de lançamento, o foguete é lançado verticalmente do solo, sem velocidade inicial, e vai seguir uma trajectória rectilínea, com movimento rectilíneo uniformemente acelerado, enquanto funcionar o seu motor.

Podemos esquematizar as forças que actuam no foguete, ignorando forças laterais, e relacionar as suas intensidades.

	Desprezando a contribuição da força de atrito:
	Porque é que podemos desprezar a força de atrito?

Podemos determinar a intensidade da força de atrito existente entre o foguete e o ar atmosférico através da relação

em que

- densidade do ar

- coeficiente de atrito

- velocidade do foguete

- área da superfície de contacto

Como os valores da densidade do ar, do coeficiente de atrito, da área da superfície de contacto e da velocidade dos foguetes envolvidos, foguetes construídos e lançados na escola, equipados com motores A8-3 e B6-4, da Estes Corporation, com impulsos de intensidade igual a 2,50 N.s e 5,00 N.s, respectivamente, e que funcionam durante 0,5 s e 0,8 s, respectivamente, chegamos rapidamente à conclusão que a intensidade da força de atrito é muito pequena e podemos desprezá-la durante o nosso raciocínio.

Podemos determinar a altura atingida pelo foguete, bem como o respectivo valor da sua velocidade, através das relações y = ½ a t² e v = a.t, em que y é a altura atingida, considerando a posição inicial do foguete como sendo y₀ = 0, a o valor da aceleração do foguete, que podemos determinar a partir da relação

conhecendo a massa m do foguete, bem como a aceleração da gravidade, t o tempo de subida do mesmo e v o valor da velocidade para o tempo correspondente.

Situação 2 - Trajectória inclinada (turn-over trajectory)

Podemos calcular a norma da aceleração do foguete e da velocidade do foguete no instante em que o motor pára de funcionar

bem como o deslocamento escalar na horizontal e na vertical, isto é, a distância ao ponto de lançamento, medida na horizontal e a altura atingida pelo foguete enquanto dura a actividade do motor que o equipa

Nos dias 13 e 14 de Fevereiro, do corrente ano de 2003, durante as Jornadas Culturais, levou-se a cabo uma Oficina de Micro-Foguetes, dinamizada pelo professor Paulo José Carapito, sendo intervenientes os professores do grupo 4º A, com mais de duas dezenas de participantes, alunos do 7º ao 12º anos de escolaridade, que projectaram, construíram e lançaram 9 foguetes.

Sistematizando os dados recolhidos durante a referida actividade construí a Tabela 1 que procura ilustrar, teoricamente, a velocidade atingida pelos foguetes durante o período de funcionamento do motor, o alcance medido sobre o solo e a altura atingida pelos mesmos. Após a quebra do motor é accionado o dispositivo de recolha do foguete, pára-quedas, mas em dois casos, foguetes 6 e 8, este dispositivo não foi accionado e os foguetes comportaram-se como mísseis balísticos. Descreverei mais á frente o seu movimento!

Tabela 1 - Sistematização dos dados de vôo obtidos durante o impulso do motor

Nota: O foguete 4 sofreu um acidente durante a descolagem, tendo caído de imediato!

Salienta-se que calculamos as normas das componentes da aceleração como:

Quando um foguete se comporta como um projéctil

As equações paramétricas do movimento de um projéctil são as seguintes:

em que x₀ e y₀ são os valores obtidos na Tabela 1 para o alcance segundo a horizontal e a altura segundo a vertical.
O ângulo referido é agora determinado a partir da relação , pois o ângulo do lançamento original não se mantém no final do impulso do motor pois, convém não esquecer, a força gravítica que actua sobre o foguete vai encurvar a trajectória deste que, por isso, não é rectilínea!
Assim, na expressão anterior, o ângulo referido funciona como o ângulo de lançamento para um projéctil.

As equações que permitem determinar os valores das componentes da velocidade do projéctil, ao longo do tempo, são:

No ponto mais alto da trajectória do foguete, considerado projéctil, a componente da velocidade segundo o eixo dos yy é nula e o foguete só possui velocidade segundo o eixo dos xx.

Então, podemos determinar o tempo de subida do projéctil considerando v_y = 0.

Recorrendo às equações paramétricas do movimento podemos determinar a altura máxima atingida.
Considerando y = 0 podemos saber durante quanto tempo o foguete se comportou como um projéctil e chegar ao alcance deste no solo.

Assim, posso sintetizar na Tabela 2 os dados referentes ao comportamento de qualquer foguete como um projéctil.

Tabela 2 - Sistematização dos dados de vôo após o impulso do motor em que os foguetes se comportam como projécteis ( Os foguetes 6 e 8 efectivamente comportaram-se como projécteis até ao fim)

Atenção. Após cessar o funcionamento do motor, há um intervalo de tempo, que depende do tipo de motor usado, que se designa por time delay, até à activação do dispositivo de recolha.
Durante este intervalo de tempo, de 3 s para os motores A8-3, e de 4 s, para os motores B6-4, o foguete já se está a comportar como um projéctil, ficando portanto sujeito às leis do movimento de projécteis, continuando a subir.
A altura máxima atingida será então obtida se, na correspondente equação paramétrica, y, substituirmos o tempo por 3 s ou 4 s, consoante o tipo de motor que o foguete leva.

Assim:

Tabela 3 - Sistematização dos dados de vôo após o impulso do motor em que os foguetes se comportam como projécteis, estimando as alturas atingidas até ao final do time delay

Estes valores obtidos são valores teóricos. Apesar de não se considerar o contributo da força de atrito, pelos motivos atrás indicados, há que considerar o papel do vento na performance do foguete.

Passo a explicar.
Durante o lançamento existia vento de norte, com velocidade de 15 km/h, com algumas rajadas mais fortes, tendo os lançamentos sido efectuados contra o vento. É natural que o papel do vento tenha sido o de produzir desvios dos foguetes durante o seu vôo. Isto é patente na análise dos casos em que os foguetes se comportaram como projécteis, após o impulso do motor ter cessado, como é o caso dos foguetes 6 e 8, em que se constata, especialmente para o caso do foguete 6, que a altura e alcance que seriam atingidos não coincidiram com o que se verificou na prática. No entanto no caso do foguete 8, os valores teóricos aproximam-se muito mais daquilo que foi observado no lançamento.

Com estes valores podíamos calcular os módulos das velocidades com que os foguetes, caso se comportassem como projécteis, atingiríam o solo.

Tabela 4 - Sistematização das velocidades de impacto no solo, caso os foguetes se comportem como projécteis até ao fim ( Os foguetes 6 e 8 efectivamente comportaram-se como projécteis )

Assustador, não é? Pensar que simples foguetes podem atingir o solo com estas velocidades!

Isto faz-nos pensar que todo o cuidado com a segurança é pouco.

Durante o lançamento de foguetes é fundamental que os assistentes estejam devidamente colocados fora da zona de impacto dos foguetes, pois, como se verificou, pode haver falhas com o dispositivo de recolha, o pára - quedas pode não funcionar, e os foguetes podem sofrer impacto no solo.

Imagina o que seria levares com um foguete na cabeça, animado com estas velocidades! Brutal!...

Como construir um foguete?

Durante as comemorações do Dia Mundial da Criança, cuja coordenação foi atribuída pela Câmara Municipal da Batalha à nossa Escola, voltou a realizar-se uma oficina de micro-foguetes, que culminou com o lançamento de 9 foguetes, alguns deles veteranos do lançamento anterior.

Disponibilizo, a seguir, algumas fotografias da actividade desenvolvida.

Fotografias tiradas pelo Prof. Paulo Portugal

Os lançamentos foram efectuados no campo de futebol da Batalha e, para minimizar riscos de acidente com o inúmero público presente, o ângulo de lançamento com a horizontal foi de 85º.

O 1º lançamento foi o de um foguete veterano e, apesar de não termos o valor da massa real do foguete, neste lançamento, pois não havia uma balança disponível no local, posso assumir a massa que tinha no lançamento anterior como muito próxima; afinal só foi substituído o motor, que neste caso foi um A8-3, e cuja massa é próxima da massa de um motor B6-4, que equipava este foguete no lançamento anterior, ocorrido durante as Jornadas Culturais.

Assim:

A tabela anterior discrimina valores da massa do foguete, intensidade da força gravítica que actua sobre ele, a norma do impulso do motor, o tempo de funcionamento do motor, a intensidade da força média do motor do foguete, bem como o ângulo de lançamento.

A partir destes dados calcularam-se as normas das componentes da aceleração, segundo os eixos do referencial x0y, e da aceleração, bem como da velocidade, do foguete, e ainda as coordenadas, segundo o mesmo referencial, que o foguete atingiu ao fim do tempo de funcionamento do motor.

Observamos que o foguete atingiu 11,1 m na vertical e 1,1 m na horizontal ao fim dos 0,5 s em que o motor funcionou.

A partir daqui o foguete comportou-se como um projéctil, apenas sujeito à força gravítica e, podemos determinar qual o ângulo de inclinação do foguete, neste instante, com a horizontal, de acordo com as leis do movimento de projécteis, pois o foguete tem uma trajectória inclinada (turn-over trajectory).

A componente da velocidade do foguete, segundo a vertical, no instante em que o motor pára, é de 44,3 m.s^-1 e, sabendo que existe um intervalo de tempo de 3,0 s até que o dispositivo de recolha do foguete se accione, determinamos a altura atingida até ao instante em que o dispositivo de recolha é accionado e o pára-quedas se abre, fazendo com que o foguete sofra uma queda controlada.

A altura atingida, teoricamente, e com as restrições indicadas, é de 99 m. No entanto, este valor está de acordo com o que foi observado acerca do movimento deste foguete.

Os dois primeiros foguetes estavam equipados com motores A8-3, de disparo eléctrico, mas os restantes estavam equipados com motores de disparo manual, motores B4-4.

Assim, no quadro seguinte, sintetizam-se as características mais importantes destes motores.

Em jeito de conclusão refiro que os foguetes atingiram todos alturas estimadas entre os 100 e os 200 m.

Lamento, no entanto, não disponibilizar cálculos da altura atingida pelos restantes foguetes, uma vez que não foram determinadas as suas massas.

Lançamento no dia 27/02/04

Programas de cálculo de parâmetros de voo: BALISTIC v.1.01 e BALISTIC v.2.01

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