Energia Potencial Gravítica

Vamos considerar o sistema constituído pela Terra, de massa , e por um corpo de prova, de massa , como mostra a figura.

 

O que aqui se pretende demonstrar é qual é a variação da energia potencial gravítica do sistema, quando o corpo de prova é transportado desde o ponto A até ao ponto B, independentemente do trajecto escolhido ser (1) ou (2).

Durante todo o percurso o corpo de prova está sujeito à acção da força gravítica, que tem o sentido do campo gravítico terrestre, visualizado através das linhas de campo a vermelho, estando o vector campo gravítico, que depende da distância do corpo à Terra, relacionado com os vectores a verde, que representam a força gravítica.

Então vamos lembrar alguns conceitos já conhecidos.

O trabalho realizado pela força gravítica é igual ao simétrico da variação da energia potencial gravítica do sistema.

De notar que e representam as distâncias do pontos A e B ao centro da Terra.

Qualquer que seja o trajecto utilizado, (1) ou (2), a variação da energia potencial gravítica do sistema Terra + corpo de prova só depende das posições inicial e final.

Se temos que , o que implica que

Convencionando , nula a energia potencial do sistema quando as massas estão infinitamente afastadas uma da outra, obtém-se .

Genericamente podemos calcular a energia potencial gravítica para um sistema de duas massas como sendo .

O trabalho realizado pela força gravítica para transportar o corpo de prova desde o ponto A até ao infinito é dado por

 .

 

 

Vamos agora considerar o deslocamento de uma bola, colocada à superfície da Terra, para a qual te habituaste a considerar que era nula a energia potencial gravítica do sistema Terra + bola, até uma altura , para a qual costumas dizer que a energia potencial gravítica do sistema é igual a ,

e vamos estabelecer um raciocínio baseado na expressão genérica que acabámos de deduzir para a energia potencial gravítica de um sistema de duas massas.

Assim, temos que considerar que a energia potencial gravítica do sistema, à superfície da Terra, é

, sendo a massa da bola e o raio da Terra, e que a energia potencial gravítica do sistema, à altura , é

.

Como , temos que , o que implica que

Isto leva-nos a dizer que, como , porque , .

Atendendo a que e , temos que e, portanto

.

Considerando, para comodidade de representação, , temos que .

Temos assim demonstrado que, para distâncias pequenas relativamente à superfície terrestre, podemos utilizar, para a variação da energia potencial gravítica do sistema Terra + bola, a expressão

  , sem entrar em conflito com

,

a expressão genérica, que representa a variação da energia potencial gravítica do sistema Terra + bola.