Energia Potencial Gravítica
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Vamos
considerar o sistema constituído pela Terra, de massa
O que aqui se pretende demonstrar é qual é a variação da energia potencial gravítica do sistema, quando o corpo de prova é transportado desde o ponto A até ao ponto B, independentemente do trajecto escolhido ser (1) ou (2). |
Durante todo o percurso o corpo de prova está sujeito à acção da força gravítica, que tem o sentido do campo gravítico terrestre, visualizado através das linhas de campo a vermelho, estando o vector campo gravítico, que depende da distância do corpo à Terra, relacionado com os vectores a verde, que representam a força gravítica.
Então vamos lembrar alguns conceitos já conhecidos.
O trabalho realizado pela força gravítica é igual ao simétrico da variação da energia potencial gravítica do sistema.
De notar que 
e 
representam as distâncias do pontos A e B ao centro da Terra.
Qualquer que seja o trajecto utilizado, (1) ou (2), a variação da energia potencial gravítica do sistema Terra + corpo de prova só depende das posições inicial e final.
Se 
temos que 
, o que
implica que
Convencionando 
, nula a energia potencial do
sistema quando as massas estão infinitamente afastadas uma da outra, obtém-se 
.
Genericamente podemos calcular a energia potencial gravítica
para um sistema de duas massas como sendo 
.
O trabalho realizado pela força gravítica para transportar o corpo de prova desde o ponto A até ao infinito é dado por
.
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Vamos agora considerar o deslocamento de uma bola, colocada à
superfície da Terra, para a qual te habituaste a considerar que era nula a
energia potencial gravítica do sistema Terra + bola, até uma altura 
, para a qual costumas dizer que a energia potencial gravítica do
sistema é igual a 
,
e vamos estabelecer um raciocínio baseado na expressão genérica que acabámos de deduzir para a energia potencial gravítica de um sistema de duas massas.
Assim, temos que considerar que a energia potencial gravítica do sistema, à superfície da Terra, é
, sendo 
a massa da
bola e 
o raio da Terra, e que a
energia potencial gravítica do sistema, à altura 
, é
.
Como 
, temos que 
, o
que implica que
Isto leva-nos a dizer que, como 
, porque 
, 
.
Atendendo a que 
e 
, temos que 
e, portanto
.
Considerando, para comodidade de representação, 
, temos que 
.
Temos assim demonstrado que, para distâncias pequenas relativamente à superfície terrestre, podemos utilizar, para a variação da energia potencial gravítica do sistema Terra + bola, a expressão
, sem entrar em
conflito com
,
a expressão genérica, que representa a variação da energia potencial gravítica do sistema Terra + bola.
, e por um
corpo de prova, de massa 
, como mostra a figura.
