Dinâmica de uma partícula material

Lei do movimento ou lei das posições Movimento rectilíneo Componentes normal e tangencial da força resultante
Velocidade Movimento curvilíneo Movimento de uma partícula actuada por uma força constante
Aceleração Movimento circular Movimento relativo
  Leis da dinâmica Movimento de uma partícula sujeita a forças de ligação

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Objectivos a atingir pelo alunos

Definir movimento circular uniforme.

Compreender o conceito de aceleração centrípeta.

Compreender o conceito de velocidade angular.

Relacionar a velocidade angular com a velocidade linear.

Relacionar a aceleração centrípeta com a velocidade angular.

Relacionar as grandezas vector posição, velocidade e aceleração entre si, usando o operador derivada.

Descrever o movimento de uma partícula com velocidade inicial actuada por uma força constante de direcção diferente da da velocidade inicial como a composição de dois movimentos simultâneos e independentes num plano.

Analisar, do ponto de vista cinemático e dinâmico, o movimento de um projéctil lançado obliquamente, considerando desprezáveis a resistência do ar e a variação da aceleração da gravidade.

Justificar que o sistema "projéctil-Terra" é um sistema conservativo.

Exprimir a aceleração em função das suas componentes tangencial e normal.

Descrever o movimento de uma partícula em relação a dois referenciais em movimento relativo de translacção uniforme (transformação de Galileu).

Enunciar o princípio da relatividade de Galileu.

Identificar as características da transformação de Galileu :

- carácter absoluto do tempo e a relatividade do espaço percorrido ;

- invariância das distâncias espaciais.

Analisar os significados de referencial inercial e de espaço absoluto.

Aplicar a fórmula de Galileu da adição das velocidades.

Identificar e representar as forças actuantes em partículas materiais que descrevem trajectórias circulares.

Aplicar a lei fundamental de Newton e a lei da conservação da energia à análise de situações envolvendo partículas materiais em movimento circular uniforme e não-uniforme, particularmente num plano vertical.

Identificar os factores de que dependem as normas das forças de atrito estático e cinético.

Enunciar as leis do atrito de escorregamento.

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1. Descrição do movimento de uma partícula material

Lei do movimento ou lei das posições

A posição de uma partícula pode ser definida, em cada instante:

  • pelas coordenadas cartesianas x, y e z, tal que x = f(t), y = f(t) e z = f (t)
  • pelo vector posição, tal que

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onde

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e cuja norma é r = ( x2 + y2 + z2 )1/2

Quando uma partícula se encontra em movimento relativamente a um referencial inercial:

  • a lei do movimento é

  • as equações paramétricas do movimento são x = x(t), y = y(t) e z = z(t)

Equação cartesiana da trajectória

A equação cartesiana da trajectória, y = f(x), é obtida por eliminação do parâmetro tempo, t, no sistema constituído pelas respectivas equações paramétricas.

Deslocamento

A variação da posição da partícula no intervalo de tempo D t é caracterizada pelo vector deslocamento

Exprimindo os vectores posição em função das coordenadas cartesianas, num referencial x0y, tem-se

cuja norma é D r = [(D x)2 + (D y)2]1/2.

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Velocidade

A velocidade é, por definição, a taxa de variação temporal do vector posição, isto é, é a derivada do vector posição em ordem ao tempo, tal que

Se o vector posição for expresso em função das suas coordenadas cartesianas, a velocidade será dada como,

ou seja igual a,

onde

e cuja norma é dada por v = ( vx2 + vy2 + vz2 )1/2.

topo

Aceleração

A aceleração é, por definição, igual à taxa de variação temporal da velocidade, ou seja, à derivada da velocidade em ordem ao tempo.

Se o vector aceleração for expresso em função das suas componentes cartesianas, tem-se:

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onde

com

e cuja norma é

Se o vector aceleração for expresso em função das componentes tangencial e normal, tem-se:

sendo

ou seja

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2. Caracterização do movimento de uma partícula

    Movimento rectilíneo

    No movimento rectilíneo tem-se

    Classificação do movimento

    Movimento rectilíneo e uniforme

    Movimento rectilíneo uniformemente variado

    Movimento rectilíneo variado

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    Movimento curvilíneo

    Classificação do movimento

    Movimento curvilíneo e uniforme

    Movimento circular uniforme

    Movimento circular uniformemente variado

    Movimento curvilíneo variado

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    Movimento circular

    A velocidade angular de uma partícula é, por definição, igual à taxa de variação temporal do ângulo varrido, por um raio vector que une a posição ocupada pela partícula ao centro do movimento, ou seja, à derivada do ângulo em ordem ao tempo, tal que

    Características do vector velocidade angular

    Direcção: perpendicular ao plano da trajectória, passando a linha de acção do vector pelo centro desta.

    Sentido: dado pela regra da mão - direita ou do saca – rolhas.

    Norma: q

    Ponto de aplicação: centro da trajectória

    Relação entre a velocidade angular e a velocidade

    Aceleração angular

    A aceleração angular é, por definição, igual à taxa de variação temporal da velocidade angular, ou seja, igual à derivada da velocidade angular em ordem ao tempo, tal que

    A unidade SI da velocidade angular é o rad s-1, e a unidade SI da aceleração angular é o rad s-2.

    Relação entre as normas da aceleração tangencial e aceleração angular

    at = a R

    Relação entre as normas da aceleração normal e velocidade angular

    an = w 2 R

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         3. Resultante das forças que actuam numa partícula e o seu movimento

    Leis da Dinâmica

    1ª Lei de Newton ( Lei da Inércia )

    Um corpo não altera o seu estado de movimento, ou de repouso, permanecendo em movimento rectilíneo uniforme, quando a força resultante das forças exteriores que actuam sobre ele é nula.

    2ª Lei de Newton ( Lei Fundamental da Dinâmica )

    Quando um corpo de massa m é actuado por uma força, ou por um sistema de forças cuja resultante não seja nula, adquire uma aceleração que lhe é proporcional, sendo a constante de proporcionalidade a massa m ( massa inercial ).

    3ª lei de Newton ( Lei da Acção – Reacção )

    Se um corpo 1 exerce uma força sobre um corpo 2, este reage exercendo sobre o corpo 1 uma força com a mesma intensidade, a mesma direcção e sentido oposto.

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    Componentes tangencial e normal da força resultante

    A força resultante de um sistema de forças pode ser decomposta nas suas componentes tangencial e normal, sendo:

    Movimento rectilíneo uniforme

    Movimento rectilíneo uniformemente variado

    Movimento rectilíneo variado

    Movimento curvilíneo

    A componente tangencial da força resultante tem a mesma direcção da velocidade, em cada instante.

    A componente normal da força resultante tem direcção perpendicular à trajectória no ponto considerado.

    Assim,

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    Movimento de uma partícula actuada por uma força constante

    Se a resultante do sistema de forças que actua uma partícula material tiver a mesma direcção da velocidade inicial do movimento, este é rectilíneo, sendo acelerado de a força resultante e a velocidade inicial tiverem o mesmo sentido e retardado se a força resultante e a velocidade inicial tiverem sentidos opostos.

    Se a resultante do sistema de forças tiver uma direcção diferente da direcção da velocidade inicial do movimento, este é curvilíneo, como é o caso do movimento de um projéctil lançado horizontalmente ou obliquamente.

Movimento de um projéctil

Desprezando a resistência do ar e considerando a força gravítica constante, verifica-se que a resultante das forças que actuam sobre um projéctil, que é lançado, é constante e igual à força gravítica.

No movimento de um projéctil, em que a aceleração é a aceleração da gravidade, a forma da trajectória depende da aceleração da gravidade e da velocidade inicial com que o projéctil é lançado.

Lançamento de um projéctil

O movimento de um projéctil pode ser considerado como um movimento composto de dois movimentos simultâneos e independentes, perpendiculares entre si:

  • um movimento rectilíneo uniforme segundo o eixo dos xx
  • um movimento rectilíneo uniformemente variado segundo o eixo dos yy

Lançamento horizontal

Considera-se o projéctil lançado da origem do referencial inercial.

Lei das acelerações

Lei das velocidades

Lei das posições

Equações paramétricas

Equação da trajectória

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Tempo de voo

O tempo de voo de um projéctil lançado horizontalmente não depende da velocidade com que é lançado.

Lançamento oblíquo

Lei das acelerações

Lei das velocidades

Lei das posições

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com

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Equações paramétricas

Equação da trajectória

Tempo de subida

Tempo de voo

Altura máxima atingida

Alcance ao nível do lançamento

Como o sistema projéctil + Terra é um sistema conservativo, uma vez que, ao desprezarmos todas as forças resistentes, a única força que actua o projéctil é a força gravítica, e esta é uma força conservativa, então, um projéctil atinge o nível de lançamento com uma velocidade de módulo igual ao da velocidade inicial, orientada para baixo e formando com a horizontal um ângulo de valor igual ao do lançamento.

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          Movimento Relativo

    Conceitos Introdutórios

    Referencial de Inércia

    Referencial em relação ao qual é válida a 1ª Lei de Newton, o que implica que se encontre, ou em repouso, ou em movimento rectilíneo uniforme, ou seja, que se mova com velocidade constante.

    Espaço Absoluto

    Espaço independente dos referenciais, no qual um referencial fixo seria um referencial inercial absoluto.

    Tempo Absoluto

    Tempo independente do espaço absoluto, igual em todos os referenciais inerciais.

    Movimento Relativo de Translacção Uniforme

    Movimento Relativo de uma partícula relativamente a dois referenciais

    Transformação de Galileu

    Conjunto de equações que relacionam as coordenadas de uma partícula material em dois referenciais de inércia, admitindo que o tempo é igual em ambos os referenciais.

    A transformação de Galileu mostra que os estados de repouso ou de movimento rectilíneo uniforme não são propriedades intrínsecas de uma partícula material, mas dependem da localização e estado do observador.

    Relatividade do deslocamento e do espaço percorrido

    Os deslocamentos e os espaços percorridos são relativos.

    Invariância da distância

    A distância entre dois pontos é invariante.

    Relatividade das velocidades

    A velocidade da partícula material em relação ao referencial fixo é igual à soma da velocidade da partícula material em relação ao referencial que está em movimento com a velocidade com que o referencial em movimento se desloca em relação ao referencial que está fixo, sendo por isso a velocidade relativa. Salienta-se que o referencial que está em movimento em relação ao fixo, o faz com movimento rectilíneo uniforme.

    Invariância da aceleração

    A aceleração das partículas é invariante.

    Princípio da Relatividade de Galileu

    As Leis da Mecânica são as mesmas em qualquer referencial inercial.

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          Movimento de uma partícula material sujeita a forças de ligação

    Forças aplicadas e forças de ligação

    As forças de ligação são forças que condicionam ou restringem o movimento de uma partícula, sendo forças que dependem das forças aplicadas.

    Equilíbrio de um sistema de forças aplicadas a uma partícula

    O equilíbrio pode ser estático ou dinâmico.

    Uma partícula encontra-se em equilíbrio dinâmico de translação quando é nula a resultante das forças que sobre ela actuam.

    Movimento Circular no plano horizontal

    Pêndulo cónico

    Resultante das forças

    Pela Lei Fundamental de Newton:

    Normas da aceleração e velocidade

    Quando o valor da velocidade aumenta, aumenta também o ângulo de abertura e consequentemente também aumenta o raio da trajectória.

    O movimento do pêndulo cónico é um movimento circular uniforme porque a tensão do fio não realiza trabalho e a força gravítica é uma força conservativa, o que leva a que o sistema considerado seja conservativo. Consequentemente, se o movimento se dá no plano horizontal não existe variação da energia potencial gravítica e, portanto, como existe conservação da energia mecânica do sistema, não existe variação da energia cinética, o que implica que o módulo da velocidade do pêndulo seja constante.

    Norma da tensão do fio

    A tensão do fio aumenta com o ângulo de abertura, bem como com o quadrado do valor da velocidade angular.

    Norma da velocidade angular

    O valor da velocidade angular, num dado local, depende apenas do ângulo de abertura e do comprimento do fio.

    Período do movimento

    Curvas com relevé

    Tal como no pêndulo cónico, porque o movimento da partícula é circular e uniforme, o módulo da velocidade da partícula é constante.

    Para a partícula descrever, sem atrito, uma curva de raio R, sem se despistar, tem-se:

    Movimento Circular no plano vertical

    Pêndulo gravítico simples

    Resultante das forças e norma da tensão do fio

     

    Aceleração

    O movimento do pêndulo não é uniformemente variado porque a norma da aceleração tangencial não é constante.

    Posição de equilíbrio

    O ângulo de abertura do pêndulo é nulo e

    A tensão do fio é máxima nesta posição, sendo a sua norma superior à norma da força gravítica, estando a resultante das forças a apontar para o centro da trajectória, ou seja, a força resultante é uma força normal ou centrípeta.

    O valor da velocidade é máximo nesta posição e dado por

    Posições extremas

    O ângulo de abertura do pêndulo é máximo e a velocidade é nula.

    A componente normal da aceleração é nula e a componente tangencial da aceleração é máxima.

    Volta completa no plano vertical

    Posição genérica

     

    Como o ângulo varrido pelo raio vector que une a posição ocupada pela partícula ao centro da trajectória varia no decorrer no tempo, o movimento da partícula é variado.

    O sistema é conservativo porque a força aplicada é a força gravítica, que é uma força conservativa, e a força de ligação, a tensão do fio, ou a reacção normal, no caso do movimento da partícula sobre uma calha, não realiza trabalho, levando à conservação da energia mecânica do sistema.

    Posição mais baixa da trajectória

    A tensão do fio nesta posição é máxima.

    O módulo da velocidade, nesta posição, é máxima. No entanto, para a partícula conseguir realizar uma volta completa no plano vertical, tem de possuir um valor mínimo da velocidade, e que é:

    Posição mais alta da trajectória

    A partícula para atingir esta posição tem de possuir um valor mínimo de velocidade – velocidade crítica, que se verifica quando a força de ligação é nula.

    O looping é um exemplo de um movimento circular no plano vertical, com volta completa. Neste caso a força de ligação não é a Tensão mas sim a Reacção Normal da calha sobre a partícula.

     

    Cálculo da altura mínima de onde deve ser abandonada a partícula por forma a dar uma volta completa no plano vertical

Movimento de uma partícula material sujeita a forças de atrito

As forças de atrito são forças não conservativas ou dissipativas.

Força de atrito estático

Força de atrito existente entre as superfícies em contacto enquanto não existe movimento relativo entre elas.

Força de atrito cinético

Força de atrito existente entre as superfícies em contacto, uma vez iniciado o movimento do corpo.

A intensidade da força de atrito cinético é inferior à intensidade da força de atrito estático máximo, para as mesmas superfícies em contacto.

As forças de atrito estático e cinético não dependem das áreas das superfícies em contacto, mas as suas intensidades são directamente proporcionais à intensidade da reacção normal da superfície em contacto.

As constantes de proporcionalidade, m e e m c, são, respectivamente, os coeficientes de atrito estático e cinético, grandezas adimensionais, que dependem da natureza dos materiais em contacto.

O coeficiente de atrito cinético depende ainda da velocidade relativa das superfícies em contacto podendo, dentro de certos limites, ser considerado constante.

O coeficiente de atrito estático é superior ao coeficiente de atrito cinético,

porque a intensidade da força de atrito estático máximo é superior à intensidade da força de atrito cinético.

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Nota: Adaptado dos manuais Física - 12º ano, da Porto Editora, e cujas autoras são Noémia Maciel, Mª Manuela Gradim e Mª José Campante, e Física - 12º ano, da Texto Editora, de Mª Teresa Marques de Sá