Campo Gravitacional e Campo Electrostático

Leis de Kepler Carga eléctrica Campo eléctrico
Lei da gravitação universal Lei de Coulomb Campo gravítico e campo eléctrico uniformes
Massa inercial e massa gravitacional Campo gravitacional e campo electrostático Energia potencial gravítica e  potencial eléctrica
  Campo gravítico Potencial gravítico e potencial eléctrico

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Objectivos a atingir pelos alunos

Comparar as concepções que estão na base dos modelos ptolomaico e coperniciano do sistema solar.

Avaliar as implicações do ponto de vista filosófico, cultural e religioso, decorrentes da aceitação da teoria heliocêntrica de Copérnico.

Explicar os passos fundamentais que conduziram Newton à formulação da lei da gravitação universal.

Descrever a experiência de Cavendish e evidenciar o seu interesse na validação da lei da gravitação universal e na confirmação da ordem de grandeza do valor da constante de gravitação prevista por Newton.

Referir alguns sucessos e limitações da teoria da gravitação universal.

Enunciar e aplicar a lei da gravitação universal.

Relacionar a massa gravitacional com a massa inercial de um corpo.

Inferir a quantificação da carga eléctrica e enunciar o princípio da conservação da carga eléctrica.

Enunciar e aplicar a lei de Coulomb das acções eléctricas.

Relacionar a constante da lei de Coulomb com a permitividade de um meio.

Indicar as semelhanças e diferenças entre as leis da força coulombiana e da força newtoniana.

Reconhecer a massa e a carga eléctrica como fontes dos campos gravítico e electromagnético,respectivamente.

Identificar o campo electrostático como um caso particular do campo electromagnético.

Definir as grandezas campo gravítico e campo eléctrico e indicar as respectivas unidades SI.

Caracterizar, em cada ponto, o campo gravítico/eléctrico criado por uma massa/carga pontual estacionária e por uma distribuição descontínua de massas/cargas estacionárias.

Representar graficamente as funções G = G(r) e E = E(r) no caso de campos de forças devidas a uma massa pontual e a uma carga pontual estacionária.

Analisar situações de equilíbrio e movimento de partículas com carga eléctrica num campo electrostático uniforme.

Justificar o carácter conservativo dos campos electrostático e gravítico (campos de forças centrais).

Estabelecer e aplicar a expressão da energia potencial correspondente ao sistema campo-massa e campo-carga.

Indicar o significado físico de potencial num ponto de um campo eléctrico/gravítico e definir as respectivas unidades SI.

Relacionar o trabalho das forças de campo sobre uma carga/massa pontual móvel entre dois pontos com a d.d.p. entre esses pontos.

Representar, graficamente, a variação do potencial num ponto de um campo electrostático/gravítico em função da distância à carga/massa, respectivamente.

Comparar os dois processos de descrever e caracterizar os campos conservativos em cada ponto.

Caracterizar a direcção e o sentido dos vectores campo eléctrico e gravítico relativamente às superfícies equipotenciais.

Relacionar o módulo do vector campo eléctrico com a d.d.p..

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         1. Interacção Gravitacional

    Leis de Kepler

    1ª Lei de Kepler ( Lei das órbitas )

    Os planetas descrevem órbitas elípticas, em torno do Sol, ocupando este um dos focos.

    2ª Lei de Kepler ( Lei das áreas )

    O vector posição que une o centro do planeta e o centro do Sol varre áreas iguais, em intervalos de tempo iguais.

    3ª Lei de Kepler ( Lei dos períodos )

    O quadrado do período, T, de revolução de um planeta em torno do Sol é directamente proporcional ao cubo da sua distância média ao Sol, R, ou seja,

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    Lei da Gravitação Universal

    Lei da Gravitação Universal

    Duas partículas materiais, 1 e 2, de massas, respectivamente, m1 e m2, que se encontrem à distância R uma da outra, exercem entre si forças atractivas cuja linha de acção é a recta que as contém e cuja intensidade é directamente proporcional às suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas.

    Queres saber qual foi o raciocínio desenvolvido por Newton?

    A força gravítica que o corpo 1 exerce sobre o corpo 2 é:

    A força gravítica que o corpo 2 exerce sobre o corpo 1 é:

    De notar que o vector unitário tem a direcção e o sentido do vector posição do corpo 2 relativamente ao corpo 1, conforme o esquema mostrado por esta ligação, e que G é a constante de gravitação universal, cujo valor é 6,673 x 10-11 N m2 kg-2.

    A Lei da Atracção Universal aplica-se também a corpos com simetria esférica, podendo estes ser considerados partículas materiais de igual massa localizada no seu centro de massa, desde que a distância entre eles seja muito maior do que o seu raio.

    A Lei da Gravitação Universal permitiu prever a descoberta de novos planetas, explicar as marés, estudar o lançamento de satélites artificiais, fazer a previsão das órbitas de cometas,...

     

    A velocidade de lançamento de um satélite, para que entre em órbita circular à volta da Terra e continue a mover-se, na sua órbita, com a velocidade que lhe foi comunicada, pode ser determinada do seguinte modo:

    A força a que o satélite está sujeito na sua órbita circular em torno da Terra é a força gravítica que esta exerce sobre ele, que é uma força centrípeta, sendo mT a massa da Terra, mS a massa do satélite e R o raio da órbita do satélite em torno da Terra.

    O valor da velocidade não depende da massa do satélite e é tanto maior quanto menor for a altitude do satélite, isto é, o raio da órbita do satélite.

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    Massa Inercial e Massa Gravitacional

    A massa inercial é a propriedade característica de um corpo que é medida pelo quociente entre a resultante das forças que sobre ele actuam, pela aceleração que lhe comunicam, isto é, é a medida da maior ou menor resistência à alteração do seu estado de repouso ou de movimento.

    Processo dinâmico de medir a massa de dois corpos. A massa é a medida da maior ou menor resistência à alteração do estado de repouso ou movimento dos corpos.

    A massa gravitacional é a propriedade característica de um corpo cujo valor é proporcional à força com que ele é atraído gravitacionalmente para outro.

    Processo estático de medir a massa de um corpo. Estabelece-se por comparação com a massa de outro já conhecida, ou tomada como padrão de referência.A inércia aqui não intervem, uma vez que os corpos estão a ser atraídos pela Terra, sendo estas massas massas gravitacionais.

    Apesar da massa inercial ser a grandeza que mede a inércia de um corpo e a massa gravitacional ser a grandeza cujo valor é proporcional á força gravitacional, estas duas grandezas exprimem-se pelo mesmo valor numérico e apresentam a mesma unidade de medida.

    A equivalência entre massas gravitacional e inercial foi verificada experimentalmente por Isaac Newton e outros cientistas (e que tal ver como?) e demonstrada por Albert Einstein no Princípio da Equivalência, onde fundamentou a Teoria da Relatividade Geral.

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2. Interacção electrostática

Carga eléctrica

Leis qualitativas das acções electrostáticas

Princípio da conservação da carga eléctrica

Num sistema fechado, a carga total do sistema permanece constante.

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Lei de Coulomb

Lei de Coulomb

A intensidade da força de atracção ou de repulsão entre duas cargas eléctricas pontuais é directamente proporcional ao produto do módulo das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas.

E se quiser considerar o vector força eléctrica exercida entre as duas cargas eléctricas pontuais, e que estejam em repouso relativamente a um referencial inercial? Como faço?

 

De notar que k é a constante de Coulomb, dependendo o seu valor do meio onde se dá a interacção electrostática, e do sistema de unidades utilizado, não sendo por isso uma constante universal como é a constante da gravitação, q1 e q2 são as duas cargas pontuais e R a distância entre elas.

A constante de Coulomb é inversamente proporcional à permitividade eléctrica do meio onde se dá a interacção. Esta permitividade traduz a interferência do meio nas interacções electrostáticas e é constante para cada meio. Quanto maior for a permitividade eléctrica de um meio, menor será o valor da constante de Coulomb e menor será a intensidade da força eléctrica.

A permitividade é mínima no vácuo e a permitividade eléctrica do ar (PTN) é praticamente igual à do vácuo.

A permitividade relativa é igual ao quociente entre a permitividade eléctrica de um meio e a permitividade eléctrica do vácuo.

No vácuo, e no ar (PTN), a constante de Coulomb é igual a 9x109 N m2 C-2.

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3. Comparação entre os Campos Gravitacional e Electrostático

Campo gravitacional

Região do espaço onde se fazem sentir as acções gravíticas de uma massa gravitacional. A massa gravitacional é a fonte do campo gravitacional que se faz sentir em qualquer outra massa gravitacional pontual que nele se coloque, massa de prova.

Campo electrostático

Região do espaço onde se fazem sentir as acções eléctricas de uma carga eléctrica em repouso. A carga eléctrica em repouso é a fonte do campo eléctrico que se faz sentir em qualquer outra carga pontual que nele se encontre, carga eléctrica de prova.

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Campo Gravítico

Força gravítica que actua por unidade de massa, colocada num ponto, à distância R da massa criadora do campo.

A unidade SI de campo gravítico é o N kg-1.

Características do vector campo gravítico num ponto P

Ponto de aplicação: ponto P

Direcção: a da força gravítica

Sentido: o da força gravítica

Norma:

Queres saber mais sobre o campo gravítico?

O campo de forças criado por uma massa pontual é um campo de forças radial e centrípeto, apresentando simetria esférica. O vector campo gravítico aponta no sentido da massa pontual criadora do campo.

Linhas de campo de um campo gravítico são linhas imaginárias a que são tangentes, em cada ponto, os vectores representativos do campo gravítico nesses pontos. A densidade das linhas de campo é maior nas zonas onde o campo é mais intenso, nunca se cruzando as linhas de campo.

O campo gravítico num ponto P à superfície da Terra, é igual à aceleração da gravidade.

Queres calcular a intensidade do campo gravítico à superfície terrestre?

O campo gravítico criado por uma distribuição descontínua de massas pontuais, m1, m2, ...,mn, é nesse ponto P, igual à soma vectorial dos campos gravitacionais, criados nesse ponto por essas massas.

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Campo Eléctrico

Força eléctrica que actua por unidade de carga eléctrica positiva, colocada num ponto à distância R da carga criadora do campo.

A unidade SI de campo eléctrico é o N C-1 ou V m-1.

Características do vector campo eléctrico num ponto P

Ponto de aplicação: ponto P

Direcção: a da força eléctrica

Sentido: o da força eléctrica, quando a carga de prova q é positiva, e contrário ao da força eléctrica, quando a carga de prova q é negativa

Norma:

Queres saber mais sobre o campo eléctrico?

O campo eléctrico criado por uma carga pontual é um campo de forças radial e centrífugo, se a carga fonte de campo for positiva, e centrípeto, se a carga fonte de campo for negativa. O campo eléctrico apresenta simetria esférica.

O campo eléctrico, à semelhança do campo gravítico, pode ser representado recorrendo a linhas de campo, que indicam a direcção e o sentido do vector campo eléctrico em cada ponto, sendo o vector campo eléctrico tangente à linha de campo.

No caso de um campo radial, as linhas de campo são rectilíneas e a sua direcção coincide com a direcção do vector campo eléctrico.

O campo eléctrico criado por uma distribuição descontínua de cargas eléctricas pontuais estacionárias, q1, q2,..., qn, é, num ponto P, igual à soma vectorial dos vectores campo eléctrico criados nesse ponto por essas cargas.

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Campos Gravitacional e Eléctrico uniformes

Num campo gravítico uniforme, o vector campo gravítico apresenta as mesmas características em qualquer ponto do campo. As linhas de campo são, portanto, paralelas e equidistantes entre si.

Num campo gravítico uniforme, como a força gravítica é constante, uma massa de prova, inicialmente em repouso, colocada num ponto qualquer do campo, adquire um movimento rectilíneo uniformemente acelerado ao longo de uma linha de campo.

Num campo eléctrico uniforme, o vector campo eléctrico apresenta as mesmas características em qualquer ponto do campo. As linhas de campo são paralelas, equidistantes entre si e dirigem-se da placa carregada positivamente para a placa carregada negativamente.

Num campo eléctrico uniforme, uma partícula material de massa m e carga q, inicialmente em repouso, quando submetida unicamente à acção do campo eléctrico, desloca-se com movimento rectilíneo uniformemente acelerado, tal que:

Num campo eléctrico uniforme, se a partícula de massa m e carga q for lançada no campo, com velocidade inicial, paralela ao vector campo eléctrico, e submetida unicamente à acção do campo, fica animada de movimento:

Num campo eléctrico uniforme, se a partícula de massa m e carga q for lançada no campo, com velocidade inicial, perpendicular à direcção do vector campo eléctrico, fica animada de movimento curvilíneo não uniformemente variado, pois a força eléctrica que actua sobre a partícula é perpendicular à velocidade inicial.

Experiência de Millikan

Permitiu concluir que a carga eléctrica está quantizada, bem como determinar o valor da carga do electrão.

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Energia potencial gravítica e energia potencial eléctrica

Uma força é conservativa quando o trabalho que realiza sobre uma partícula, entre duas posições A e B, depende apenas destas posições e não depende da trajectória descrita pela partícula. São exemplos de forças conservativas, a força gravítica, a força eléctrica e a força elástica.

Uma força é não conservativa ou dissipativa quando o trabalho realizado numa trajectória fechada é diferente de zero, isto é, para deslocar a partícula entre duas posições A e B, o trabalho realizado pela força depende da trajectória descrita pela partícula. São exemplos a força de atrito e a resistência do ar.

Existe conservação da energia mecânica, durante o movimento de uma partícula, quando este é realizado apenas sob a acção de forças conservativas, ou quando as forças não conservativas não realizam trabalho.

Um campo gravitacional radial é um campo conservativo.

O trabalho realizado pela força gravítica, sobre uma partícula, de massa m, entre duas posições A e B, do campo gravítico terrestre, numa pequena região onde este possa ser considerado uniforme, é simétrico da variação da energia potencial gravítica do sistema partícula + Terra.

O trabalho da força gravítica, no transporte de uma massa m, de um ponto A, situado a uma distância RA, da massa criadora do campo, M, a um ponto B, situado a uma distância RB, da massa criadora do campo, M, é dado pela expressão:

Esta expressão permite medir a variação da energia potencial gravítica entre duas posições do sistema.

O valor da energia potencial é, por convenção, nulo nos pontos onde se anula a interacção gravítica.

Para um sistema de duas massas pontuais, situadas a uma distância R uma da outra, finita, a expressão da energia potencial gravítica do sistema é:

Para saber mais sobre energia potencial gravítica, siga esta ligação, em que pode ficar a saber que, sob determinados parâmetros, não existe conflito entre esta expressão e aquela já conhecida de anos anteriores!...

Colocação de um satélite em órbita

Aplicação

Velocidade de escape de um satélite

Velocidade mínima com que deve ser lançado uma nave para que escape à acção do campo gravítico terrestre.

A força electrostática é uma força conservativa e um campo electrostático radial é um campo conservativo.

O trabalho realizado pela força eléctrica é simétrico da variação da energia potencial eléctrica entre dois pontos de um campo eléctrico.

O trabalho realizado pela força eléctrica no deslocamento de uma carga de prova q de um ponto A, situado a uma distância RA da carga Q criadora do campo, para um ponto B, situado a uma distância RB da carga Q criadora do campo, é dado pela expressão:

trabalhoe.gif (1533 bytes)

Esta expressão permite medir a variação da energia potencial eléctrica entre duas posições da carga de prova no campo electrostático.

O nível de referência considerado para definir energia potencial eléctrica é o infinito, distância à qual se anula a interacção electrostática.

Define-se energia potencial eléctrica de um sistema de duas cargas pontuais como o trabalho realizado pelas forças do campo para trazer a carga de prova de uma distância infinita, onde se considera a energia potencial eléctrica nula, até uma distância R finita. A expressão da energia potencial eléctrica é:

Da expressão anterior conclui-se:

Aplicação

Para saber mais sobre energia potencial eléctrica siga esta ligação...

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Potencial Gravítico e Potencial Eléctrico

O potencial gravítico num ponto do campo gravítico criado por uma massa pontual é uma grandeza física, escalar, numericamente igual à energia potencial gravítica por unidade de massa colocada nesse ponto.

A unidade SI de potencial gravítico é o J kg-1.

O potencial gravítico num ponto é sempre negativo e o seu valor aumenta à medida que a distância R à massa criadora do campo, M, aumenta. Num ponto infinitamente afastado da massa criadora do campo, o potencial gravítico é nulo.

Tanto o vector campo gravítico, grandeza vectorial posicional, como o potencial gravítico, grandeza escalar posicional, caracterizam o campo gravítico num ponto, porque só dependem da posição do ponto relativamente á massa criadora.

O potencial gravítico num ponto do campo criado por uma distribuição descontínua de massas pontuais, m1, m2, ..., mn, é igual à soma algébrica dos potenciais devidos às várias massas nesse ponto.

O trabalho realizado pela força gravítica, durante o deslocamento de uma massa unitária, de um ponto A para um ponto B, mede a variação do potencial gravítico, entre os pontos considerados, sendo:

Se quiseres saber como...

A diferença de potencial gravítico entre dois pontos A e B de um campo, é numericamente igual à variação de energia potencial gravítica por unidade de massa de prova, quando esta sofre deslocamento de A para B.

O potencial gravítico num ponto A do campo é medido pelo trabalho realizado pela força gravítica, por unidade de massa, no deslocamento de uma massa de prova, desde o ponto A até ao infinito.

Devido ao facto do campo gravítico, criado por uma massa pontual, ser radial, pontos a igual distância da massa criadora do campo estão ao mesmo potencial.

Uma superfície equipotencial é o lugar geométrico de todos os pontos que se encontram ao mesmo potencial.

No caso de um campo radial, as linhas de campo são rectilíneas e pontos do campo a igual potencial encontram-se em superfícies equipotenciais perpendiculares às linhas de campo, sendo as superfícies equipotenciais tanto menos espaçadas quanto mais intenso for o campo.

O vector campo gravítico tem direcção perpendicular às superfícies equipotenciais e sentido dos potenciais decrescentes.

Num campo gravítico uniforme, as superfícies equipotenciais são planos perpendiculares às linhas de campo e encontram-se a distância igual entre si, porque o campo gravítico é constante, não havendo zonas onde seja diferente.

 

Relação entre a intensidade do campo gravítico uniforme e a diferença de potencial entre dois pontos A e B do campo, situados sobre a mesma linha de campo, à distância d um do outro

A intensidade de um campo gravítico uniforme é igual ao quociente entre a diferença de potencial entre dois pontos quaisquer, a potenciais diferentes, e a distância que separa as superfícies equipotenciais que contêm esses pontos.

Porquê?! Vamos ver...

A unidade N kg-1 é a intensidade de um campo gravítico uniforme, no qual a diferença de potencial entre dois pontos de duas superfícies equipotenciais, situadas à distância de 1 m, é igual a 1 J kg-1.

 

O potencial eléctrico num ponto do campo electrostático, criado por uma carga pontual, é uma grandeza escalar numericamente igual à energia potencial eléctrica por unidade de carga positiva colocada nesse ponto.

A unidade SI de potencial eléctrico é o V.

O potencial eléctrico é:

Tanto o vector campo eléctrico, grandeza vectorial posicional, como o potencial eléctrico, grandeza escalar posicional, caracterizam o campo eléctrico num ponto, porque só dependem da posição do ponto relativamente à carga criadora do campo.

O potencial eléctrico num ponto do campo, criado por uma distribuição descontínua da cargas pontuais, q1, q2, ..., qn, é igual à soma algébrica dos potenciais devidos às várias cargas nesse ponto.

O trabalho realizado pela força eléctrica, durante o deslocamento de uma carga unitária, de um ponto a para um ponto B, do campo, mede a variação do potencial eléctrico entre os pontos considerados, sendo:

A diferença de potencial eléctrico entre dois pontos A e B de um campo, é numericamente igual à variação da energia potencial eléctrica por unidade de carga de prova, durante o deslocamento de A para B.

O potencial eléctrico num ponto A do campo, é medido através do trabalho realizado pela força eléctrica, por unidade de carga de prova, no deslocamento desde o ponto A até ao infinito.

potenciale.gif (1132 bytes)

Se quiseres saber como...

Devido ao facto do campo eléctrico, criado por uma carga pontual, é radial, pontos situados a igual distância da carga criadora do campo encontram-se ao mesmo potencial.

No caso de um campo radial, as linhas de campo são rectilíneas e as superfícies equipotenciais são perpendiculares às linhas de campo, sendo as superfícies equipotenciais tanto menos espaçadas quanto mais intenso for o campo.

O vector campo eléctrico tem a direcção perpendicular às superfícies equipotenciais e o sentido dos potenciais decrescentes.

Num campo eléctrico uniforme, as superfícies equipotenciais são planos perpendiculares às linhas de campo e encontram-se a igual distância entre si, porque o campo eléctrico é constante, não havendo zonas onde seja diferente.

 

Relação entre a intensidade do campo eléctrico uniforme e a diferença de potencial entre dois pontos A e B do campo, situados sobre a mesma linha de campo, à distância d um do outro

campoe.gif (1042 bytes)

A intensidade de um campo eléctrico uniforme é igual ao quociente entre a diferença de potencial entre dois pontos quaisquer, a potenciais diferentes, e a distância que separa as superfícies equipotenciais que contêm esses pontos.

Porquê?! Vamos ver...

A unidade V m-1 é a intensidade de um campo eléctrico uniforme, no qual a diferença de potencial entre dois pontos de duas superfícies equipotenciais, situadas à distância de 1 m, é igual a 1 V.

Aplicação 1

Aplicação 2

Aplicação 3

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Nota: Adaptado dos manuais Física - 12º ano, da Porto Editora, e cujas autoras são Noémia Maciel, Mª Manuela Gradim e Mª José Campante, e Física - 12º ano, da Texto Editora, de Mª Teresa Marques de Sá